为什么更改总和顺序会返回不同的结果？

也许这个问题是愚蠢的，但是为什么简单地改变元素的顺序会影响结果呢？

它将根据值的大小更改值的四舍五入点。作为我们看到的那种事情的一个例子，让我们假设我们使用的是具有4个有效数字的十进制浮点类型，而不是二进制浮点，其中每个加法都以“无限”精度执行，然后舍入到最接近的可表示数字。以下是两个总和：

1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
                = 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
                = 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)

2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
                = 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
                = 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)

我们甚至不需要非整数来解决这个问题：

10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
                  = 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
                  = 0

10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
                  = 0 + 1
                  = 1

这可能更清楚地表明，重要的部分是我们有有限数量的有效数字 - 而不是有限数量的小数位数。如果我们总是可以保持相同数量的小数位数，那么至少通过加法和减法，我们就可以了（只要值不会溢出）。问题是，当您获得较大的数字时，较小的信息会丢失 - 在这种情况下，10001被舍入为10000。（这是埃里克·利珀特（Eric Lippert）在他的答案中指出的问题的一个例子。

请务必注意，右侧第一行的值在所有情况下都是相同的 - 因此，尽管重要的是要了解您的十进制数（23.53，5.88，17.64）不会完全表示为值，但由于上面显示的问题，这只是一个问题。double

以下是二进制文件中发生的事情。众所周知，某些浮点值不能用二进制值精确表示，即使它们可以用十进制精确表示。这3个数字只是这个事实的例子。

使用此程序，我输出每个数字的十六进制表示形式和每个加法的结果。

public class Main{
   public static void main(String args[]) {
      double x = 23.53;   // Inexact representation
      double y = 5.88;    // Inexact representation
      double z = 17.64;   // Inexact representation
      double s = 47.05;   // What math tells us the sum should be; still inexact

      printValueAndInHex(x);
      printValueAndInHex(y);
      printValueAndInHex(z);
      printValueAndInHex(s);

      System.out.println("--------");

      double t1 = x + y;
      printValueAndInHex(t1);
      t1 = t1 + z;
      printValueAndInHex(t1);

      System.out.println("--------");

      double t2 = x + z;
      printValueAndInHex(t2);
      t2 = t2 + y;
      printValueAndInHex(t2);
   }

   private static void printValueAndInHex(double d)
   {
      System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
   }
}

该方法只是一个十六进制打印机帮助程序。printValueAndInHex

输出如下：

403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004

前 4 个数字是 、 、 和 的十六进制表示形式。在 IEEE 浮点表示中，位 2-12 表示二进制指数，即数字的刻度。（第一位是符号位，其余位是尾数。表示的指数实际上是减去 1023 的二进制数。xyzs

提取前 4 个数字的指数：

    sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第一组新增内容

第二个数字（）的量级较小。当将这两个数字相加得到时，第二个数字（）的最后2位移出范围，并且不计入计算。yx + y01

第二个加法将两个相同比例的数字相加和相加。x + yz

第二组新增内容

在这里，首先发生。它们具有相同的比例，但它们产生的数字在规模上更高：x + z

404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第二个加法加法和，现在从中删除3位以除以除以数字（）。在这里，必须有一个向上舍入，因为结果是下一个浮点数向上：对于第一组加法 vs。 对于第二组添加。该误差足以显示在总数的打印输出中。x + zyy10140478666666666664047866666666667

总之，在对 IEEE 号码执行数学运算时要小心。有些表示是不精确的，当比例不同时，它们变得更加不精确。如果可以的话，加减类似比例的数字。