Java数学中的组合“N选择R”？

math java combinatorics

2022-08-31 15:04:52

Java库中是否有内置方法可以为任何N，R计算“N选择R”？

答案 1

公式

实际上，即使没有计算阶乘，也很容易计算。N choose K

我们知道公式为：(N choose K)

    N!
 --------
 (N-K)!K!

因此，公式为：(N choose K+1)

       N!                N!                   N!               N!      (N-K)
---------------- = --------------- = -------------------- = -------- x -----
(N-(K+1))!(K+1)!   (N-K-1)! (K+1)!   (N-K)!/(N-K) K!(K+1)   (N-K)!K!   (K+1)

那是：

(N choose K+1) = (N choose K) * (N-K)/(K+1)

我们也知道：(N choose 0)

 N!
---- = 1
N!0!

因此，这给了我们一个简单的起点，使用上面的公式，我们可以找到任何具有乘法和除法的公式。(N choose K)K > 0KK

易帕斯卡三角形

将上述放在一起，我们可以很容易地生成帕斯卡三角形，如下所示：

    for (int n = 0; n < 10; n++) {
        int nCk = 1;
        for (int k = 0; k <= n; k++) {
            System.out.print(nCk + " ");
            nCk = nCk * (n-k) / (k+1);
        }
        System.out.println();
    }

这打印：

1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
1 7 21 35 35 21 7 1 
1 8 28 56 70 56 28 8 1 
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

`BigInteger`版本

应用公式很简单：BigInteger

static BigInteger binomial(final int N, final int K) {
    BigInteger ret = BigInteger.ONE;
    for (int k = 0; k < K; k++) {
        ret = ret.multiply(BigInteger.valueOf(N-k))
                 .divide(BigInteger.valueOf(k+1));
    }
    return ret;
}

//...
System.out.println(binomial(133, 71));
// prints "555687036928510235891585199545206017600"

根据谷歌，133选择71 = 5.55687037×10³⁸。